答案：
解析：

解：（1），  ，   .······································································· 3分

          说明：每写对一个给1分.

       （2）存在.下面就所选图形的不同分别给出证明：

            选图1.图1中有直线垂直平分，证明如下：

图1

            方法一：

            证明：∵与是全等的等边三角形，

                  ∴，

                  ∴.

                 又∵.

                   ∴   .

                   ∴.∴点H在线段的垂直平分线上.

又∵，∴点在线段的垂直平分线上

∴直线垂直平分····························································· 8分

方法二：

证明：∵与是全等的等边三角形，

                   ∴，

                    ∴.

                    又.

  ∴

 ∴.

在与中

∵，，

∴≌.∴

∴是等腰三角形的顶角平分线.

∴直线垂直平分.  ·························································· 8分

选图2.图2中有直线垂直平分，证明如下：

图2

      ∵

∴

又∵，

         ∴   .

  ∴.∴点H在线段的垂直平分线上.

又∵，∴点在线段的垂直平分线上

∴直线垂直平分. ·············································································· 8分

 

说明：（ⅰ）在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；

（ⅱ）选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.

        (3)当为奇数时，，

       当为偶数时，   ····································································· 10分

        （4）存在.当为奇数时，直线垂直平分，

          当为偶数时，直线垂直平分.······································· 12分

  说明：第（3）、（4）问中，每写对一个得1分.

答案：
解析：
解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），

∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则，解得，∴；

（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），

∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，

设直线BG的解析式为，则，解得，∴，

∴，解得，，∴点P（）或P（），

（3）∵，∴对称轴，令，解得，，∴E（，0），故E、D关于直线对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，

要使|QE-QC|最大，则延长DC与相交于点Q，即点Q为直线DC与直线的交点，

由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，

则，解得，∴，当时，，故当Q在（）的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=．

答案：
解析：

解：（1）根据题意，将A（，0）、B（2，0）代入中得

，解这个方程，得，

∴该抛物线的解析式为

当x＝0时，y＝1

∴点C的坐标为（0，1）

∴在Rt△AOC中，

  在Rt△BOC中，

  ，∵

∴△ABC是直角三角形

（2）点D的坐标为（，1）

（3）存在

由（1）知，AC⊥BC

①若以BC为底边，则BC∥AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为，把A（，0）代入直线AP的解析式，求得

∴直线AP的解析式为

∵点P既在抛物线上，又在直线AP上

∴点P的纵坐标相等，即

解得，（舍去）

当时，

∴点P（，）

②若以AC为底边，则BP∥AC，如图2所示，可求得直线AC的解析式为。直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为，把B（2，0）代入直线BP的解析式，求得，

∴直线BP的解析式为

∵点P既在抛物线上，又在直线BP上

∴点P的纵坐标相等

即，解得，（舍去）

当时，，∴点P的坐标为（，－9）

综上所述，满足题目条件的点P为（，）或（，－9）

答案：
解析：

（1）对于任意时刻的t有：AP=2t，DQ=t，AQ=6-t，

       当AQ=AP时，△AQP为等腰直角三角形      ……2分

        即6-t=2t，∴t=2，                          

       ∴ 当t=2时，△QAP为等腰直角三角形.         ……4分

     （2）在△AQC中，AQ=6-t，AQ边上的高CD=12，

       ∴S_△AQC=                

在△APC中，AP=2t，AP边上的高CB=6，

∴S_△APC=                          ………6分

∴四边形QAPC的面积S_QAPC= S_△AQC +S_△APC=36-6t+6t=36（cm²）  

经计算发现：点P、Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变.………8分

（3）根据题意，应分两种情况来研究：

   ①当时，△QAP∽△ABC，则有，求得t=1.2（秒）………9分

②当时，△PAQ∽△ABC，则有，求得t=3（秒） ………11分

∴当t=1.2或3秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.    ………12分

 

答案：
解析：　

考点：    二次函数综合题．

分析：    （1）根据勾股定理求得C点的坐标，把B、C点坐标代入y=x²+bx+c即可求得解析式，转化成顶点式即可．

（2）根据△AOM∽△COB，得到OC=2OB，即：﹣c=2x₂；利用x₂²+bx₂+c=0，求得c=2b﹣4；将此关系式代入抛物线的顶点坐标，即可求得所求之关系式．

解答：    解：（1）∵x₂=1，BC=，

∴OC==2，

∴C（0，﹣2），

把B（1，0），C（0，﹣2）代入y=x²+bx+c，得：0=1+b﹣2，

解得：b=1，

∴抛物线的解析式为：y=x²+x+﹣2．

转化为y=（x+）²﹣；

∴函数y=x²+bx+c的最小值为﹣．

（2）∵∠OAM+∠OBC=90°，∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OAM=∠OCB，又∵∠AOM=∠BOC=90°，

∴△AOM∽△COB，

∴，

∴OC=•OB=2OB，

∴﹣c=2x₂，即x₂=﹣．

∵x₂²+bx₂+c=0，将x₂=﹣代入化简得：c=2b﹣4．

抛物线的解析式为：y=x²+bx+c，其顶点坐标为（﹣，）．

令x=﹣，则b=﹣2x．

y==c﹣=2b﹣4﹣=﹣4x﹣4﹣x²，

∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为：y=﹣x²﹣4x﹣4（x＞﹣）．

点评：    本题考查了勾股定理、待定系数法求解析式、三角形相似的判定及性质以及抛物线的顶点坐标的求法等．

答案：
解析：


【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，求其解析式，可设这个抛物线的解析式为顶点式.（2）要求点的坐标与有关系，对的取值进行分类讨论.

【答案】(1)设,把代入，得.

     ∴.

(2)∵为正整数，,

∴应该是9的倍数. 

∴是3 的倍数.

   又∵,

∴…  

   当时，,此时,.

   ∴四边形的四边长为3,4,5,6.

当时，,

∴四边形的四边长不能是四个连续的正整数.

∴点坐标只有一种可能（6,4）.

(3) 设,与对称轴交点为.

则. .

∴=.

    ∴当时，有最小值,

∴总是成立.

【涉及知识点】抛物线的解析式的求法.

【点评】本题属于数形结合题，考查学生对几何与代数的结合的运用能力. 抛物线的解析式的三种求法：三点式、交点式、顶点式.

【推荐指数】★★★★

答案：
解析：

解：（1）令，得.

            ∴点A的坐标为（2，0）. ······························································ 2分

            是等腰三角形. ····································································· 3分

          （2）存在.

             .······················································ 5分

           (3)当0＜＜2时，如图1，作轴于H，设.

             

                            图1

∵A(2,0), C(,0),

              ∴.    ∴.

              ∴

              把代入，得

                .

               ∵,

          ∴.····················· 9分

             当时，不存在

             当时，如图2，作轴于H，设.

                                 图2

             ∵A（2，0），C（，0），

             ∴，∴.

             ∴

              把代入，

              得.

              ∵，

          ∴·································· 12分

  说明：采用思路求解，未排除的，扣1分.

答案：
解析：
解：（1）证明：连接OP，与AB交与点C．∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；

（2）∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，∴△QAO∽△QBP，

∴ ，即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，∴OA=12，AQ=9，∴QB=27；∵ = ，

∴PQ=45，即PA=36，∴OP=；∵PA、PB是⊙O的切线，∴OP⊥AB，AC=BC，

∴PA•OA=OP•AC，即36×12=•AC，∴AC=，故AB=．

答案：
解析：
考点：二次函数综合题。

分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a．

（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．

（3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案．

解答：解：（1）令y=0，由a（x²﹣6x+8）=0，

解得x₁=2，x₂=4；

令x=0，解得y=8a，

∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），

该抛物线对称轴为直线x=3，

∴OA=2，

如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，

由题意得：O′A=OA=2，

∴O′A=2AM，

∴∠O′AM=60°，

∴∠OAC=∠O′AC60°，

∴，AO=2，

即8a=2，

∴a=；

（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立，

①如图②，设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM，

∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，

∴PB＜4，PC≥4，

∴PC＞PB，

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形，

②设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），

∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），

∴FG=3，GB=，

∴3≤PB，

∵PC≥4，

∴PC＞PB，

又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形；

（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，

如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，

∴PA=PB，

∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，

∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，﹣a），

点P的坐标是（3，t），

∴PC²=3²+（t﹣8a）²，PD²=（t+a）²，

由PC=PD得PC²=PD²，

∴3²+（t﹣8a）²=（t+a）²，

整理得：7a²﹣2ta+1=0有两个不相等的实数根a==，

显然a=满足题意

当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a=，使得线段PA、旁边、PC、PD能构成一个平行四边形．

点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．

答案：
解析：

证明：连接OC

∵EF与⊙O相切

∴OC⊥EF

∵AD⊥EF

∴AD∥OC

∴∠OCA＝∠DAC

∵OA＝OC

∴∠OCA＝∠BAC

∴∠DAC＝∠BAC

（2）∠BAG与∠DAC相等，理由如下：

连接BC

∠B＝∠AGD

∵AB是直径，AD⊥EF

∴∠BCA＝∠GDA＝90⁰

∴∠B＋∠BAC＝90⁰，∠AGD＋∠DAG＝90⁰

∴∠BAC＝∠DAG

∴∠BAC－∠CAG＝∠DAG－∠CAG

即∠BAG＝∠DAC