(8分)如图,在△ABC中,∠A=90°.
(1)用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的
图形△AB1C1(保留作图痕迹);
(2)若AB=3,BC=5,求tan∠AB1C1.
解:(1)作∠CAB的平分线,在平分线上截取AB 1=AB,
作C 1 A⊥AB 1,在AC 1上截取AC 1=AC,
如图所示即是所求.
(2)∵AB=3,BC=5,
∴AC=4,
∴AB 1=3,AC 1=4,
tan∠AB1C1==.
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在BC的延长线上,且BD=AB,过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证:△ABC≌△BDE;
(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法).
考点:
作图-旋转变换;全等三角形的判定。
分析:
(1)利用已知得出∠A=∠DBE,进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可;
(2)利用垂直平分线的性质可以作出,或者利用正方形性质得出旋转中心即可.
解答:
(1)证明:在Rt△ABC中,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠DBE=90°,
∵BE⊥AC,
∴∠ABE+∠A=90°,
∴∠A=∠DBE,
∵DE是BD的垂线,
∴∠D=90°,
在△ABC和△BDE中,
∵,
∴△ABC≌△BDE(ASA);
(2)作法一:如图①,点O就是所求的旋转中心.
作法二:如图②,点O就是所求的旋转中心.
点评:
此题主要考查了旋转变换图形的性质以及全等三角形的证明,正确发现图形中等量关系∠A=∠DBE是解题关键.