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中考数学机器解题：2020年重庆26题
难度：
压轴题
年度：
2020年
标签： 字母运算 最大最小值 点评：
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16.（2019武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE，问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是（ ）
图1 图2
难度：
中等题
年度：
2019年
标签： 几何图形 点评：三角形内一点到三个顶点最小值
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16. （2019达州）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
难度：
中等题
年度：
2019年
标签： 函数图像 点评：
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24．(2019南平)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为x=3/4，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E． （3）若△ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.
难度：
压轴题
年度：
2019年
标签： 函数图像 运动图形的定值 点评：
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18．(2019成都)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C+B′C的最小值为（ ）。
难度：
中等题
年度：
2019年
标签： 几何图形 点评：
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24．（14分）（2014?乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B． （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）已知点C（0，﹣2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值； （3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，﹣5/3），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时： ①求点F的坐标； ②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
压轴题
年度：
2014年
标签： 函数图像 点评：
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24．（2014海南）（满分14分）如图8，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（－1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点． （2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标． （3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
难度：
压轴题
年度：
2014年
标签： 函数图像 运动图形的定值 点评：
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21．(2016益阳)如图，顶点为A(√3,1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB； （3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
难度：
压轴题
年度：
2016年
标签： 函数图像 点评：
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25．（12分）（2014?重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A、B、C的坐标； （2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积； （3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2√2DQ，求点F的坐标．
难度：
压轴题
年度：
2014年
标签： 函数图像 点评：
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26．(2014眉山)如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标； （3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．
难度：
压轴题
年度：
2014年
标签： 函数图像 点评：
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在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2x与x轴正半轴交于点A，顶点为B．
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点C（0，﹣2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值；
（3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，﹣
），N在对称轴的左侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时：
①求点F的坐标；
②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点： |
二次函数综合题． |
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分析： |
（1）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出顶点B的坐标； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．先由ME∥y轴，得出△AME∽△AOC，根据相似三角形对应边的比相等得出 （3）由（2）得抛物线的解析式为y= ①将N（n，﹣ ②N（1，﹣ Ⅰ）当NF为平行四边形的边时， 如果NFHP为平行四边形，由点F向左平移3个单位横坐标为0，求得点P的横坐标为1﹣3=﹣2，将x=﹣2代入y= 求出P点坐标（﹣2， 如果NFPH为平行四边形，同理求出H点坐标为（0，﹣ Ⅱ）当NF为平行四边形的对角线时，先求出NF的中点坐标，再根据H与P关于这个中点坐标对称，求出H点坐标为（0，
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解答： |
解：（1）∵y=mx2﹣2x=m（x﹣ ∴顶点B的坐标为（ （2）∵点C（0，﹣2）， ∴OC=2． 设抛物线的对称轴与x轴交于点M． ∵ME∥y轴， ∴△AME∽△AOC， ∴ ∴ME= ∵△OCD≌△BED， ∴OC=BE=2， ∴BM=BE+ME=3， ∴﹣ ∴m= （3）由（2）得抛物线的解析式为y= ①∵点N（n，﹣ ∴﹣ 解得n1=1，n2=5． ∵点N在对称轴的左侧， ∴n=1， ∴N（1，﹣ 将点N向上平移1个单位得到N′（1，﹣ 设直线AN′的解析式为y=kx+b， 把N′（1，﹣ 得 ∴y= ∵点F是AN′与对称轴是直线x=3的交点， ∴F（3，﹣ ②N（1，﹣ 分两种情况讨论： Ⅰ）当NF为平行四边形的边时，FH∥NP，FH=NP． 如果NFHP为平行四边形， ∵点F向左平移3个单位横坐标为0， ∴点P的横坐标为1﹣3=﹣2， 当x=﹣2时，y= ∴P（﹣2， ∴N点先向左平移3个单位，再向上平移 ∴H点纵坐标为﹣ ∴H点坐标为（0， 如果NFPH为平行四边形， ∵点N向左平移1个单位横坐标为0， ∴点P的横坐标为3﹣1=2， 当x=2时，y= ∴P（2，﹣ ∴F点先向左平移1个单位，再向下平移﹣ ∴H点纵坐标为﹣ ∴H点坐标为（0，﹣ Ⅱ）当NF为平行四边形的对角线时， ∵NF的中点坐标为（2，﹣ ∴HP的中点坐标为（2，﹣ ∵H（0，y）， ∴点P的横坐标为4， 当x=4时，y= ∴P（4，﹣ ∴H点纵坐标为2×（﹣ ∴H点坐标为（0， 综上所述，所求H点坐标为（0，
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点评： |
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线的顶点坐标求法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，轴对称的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． |
=
=
，于是ME=
=﹣3，进而求出m的值；
x2﹣2x，其对称轴是x=3，A（6，0）．
）代入y=
），连结AN′，与对称轴的交点即为所求点F．在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，根据两点之间线段最短可知此时得到的四边形ONGF的周长最小．运用待定系数法求出直线AN′的解析式，将x=3代入，求出y的值，进而得到点F的坐标；
），设H（0，y）．分两种情况讨论：
x2﹣2x，
），那么N点先向左平移3个单位，再向上平移
）=7个单位到点P，依此求出H点纵坐标为﹣
+7=
，进而得到H点坐标为（0，
）；
）．
）2﹣
）；
=
=
，
；
）在此抛物线上，
=
n2﹣2n，
），连结AN′，与对称轴的交点即为所求点F．在对称轴上将点F向下平移1个单位得到点G，连结NG，OF，可知此时得到的四边形ONGF的周长最小（由N′F′+AF′＞AN′，可得NG′+OF′＞NG+OF）．
，解得
，
x﹣
．
）；
），F（3，﹣
x2﹣2x=
，
），
）=7个单位到点P，
+7=
，
x2﹣2x=
，
﹣（﹣
个单位到点P，
﹣
，
）；
），
x2﹣2x=
，
）=
，
）或（0，﹣
）或（0，
